TEMA 1: LAS FRACCIONES. CONJUNTO Y OPERACIONES

1- Definición


Una fracción es un número , que se obtiene de dividir un entero en partes iguales Por ejemplo cuando decimos una cuarta parte de la torta, estamos dividiendo  la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas.

Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.
El numerador es el número de partes que se considera de la unidad o total.
El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad o total.

 

2- Lectura de fracciones


Todas las fracciones reciben un nombre específico, se pueden leer como tal, de acuerdo al numerador y denominador que tengan.
El número que está en el numerador se lee igual, no así el denominador. Cuando el denominador va de 2 a 10, tiene un nombre específico (si es 2 es "medios", si es 3 es "tercios", si es 4 es "cuartos", si es 5 es "quintos", si es 6 es "sextos", si es 7 es "séptimos", si es 8 es "octavos", si es 9 es "novenos", si es 10 es "décimos"), sin embargo, cuando es mayor que 10 se le agrega al número la terminación "avos".



Ejemplos:

 En el  caso particular de las fracciones con denominador 10 ,100 y 1000.
Ejemplo: 4   se lee " cuatro décimos"  , 2   se lee " dos centécimos" y     3    se lee " tres milésimos"
                10                                                100                                                  1000



3- Los significados de las fracciones en los distintos contextos de uso


3.1 La fracción como expresión que vincula la parte con el todo

En este caso se la utiliza para indicar “la fractura” o “división en partes”, respondiendo a la pregunta ¿Qué parte es? del entero en cuestión o como partes consideradas de una colección de objetos  iguales. Se conviene que el denominador de la fracción indica el número de partes en que está dividido dicho entero y el numerador las partes consideradas.
Por ejemplo:
- ¿ Qué parte de este grupo de pelotas es color rosa? 

 

Problema:

De una canasta de 36 flores, 1/3 son rosas ; 1/4 son margaritas y el resto son pensamientos. ¿Cuántas flores de cada clase hay?

Para calcular la fracción de un número n, en este caso flores, puedes dividir el numero n por el denominador de la fracción y luego multiplicarlo por el numerador, o bien multiplicar el numerador de la fracción por n y el resultado dividirlo por  el denominador.

Así en nuestro problema:
- 1/3 de 36  son rosas =  36 : 3 = 12 x 1 = 12
Por lo tanto de las 36 flores que hay en la canasta:  12 son rosas
-1/4 de 36  son margaritas =  36 : 4 = 9  x 1 = 9
Por lo tanto de las 36 flores que hay en la canasta:  9 son margaritas.
- Si el resto de las flore de la canasta son pensamientos debemos  restar al total de flores, la suma de las otras dos.
rosas + margaritas = 12 + 9 = 21         
36  - 21  =  15
Luego tenemos que hay 15 pensamientos.

Respuesta: de las 36 flores que contiene la canasta, 12 son rosas, 9 son margaritas  y 15 son pensamientos.



3.2- La fracción como reparto equitativo

Respondiendo a la pregunta ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Por ejemplo, si tengo 9 panqueques para ser repartidos entre 7 invitados, cada invitado comerá 9/7 lo que equivale a 1 panqueque y 2/7.
Análogamente, si he de repartir 3 barras de chocolate entre 4 niños cada uno recibirá 3/4 de barra. Estas situaciones se diferencian de las de parte del todo en tanto intervienen unidades múltiples (panqueques- niños - manzanas -comensales, etc.)

Para que te quede más claro veremos otro ejemplo:
- Un grupo de 4 amigos se reúnen a comer. Tienen 3 pizzas, las que repartirán en partes iguales.

 ¿Qué fracción de pizza le corresponde a cada uno?

Como la división 3 : 4 no es exacta, debemos hacer lo siguiente:

1° Dividiremos cada pizza en 4 partes iguales, es decir en cuartos.

2° Luego se reparten los 12 pedazos entre los 4 amigos

12 cuartos : 4 =  3 cuartos para cada uno  

3.3-  La fracción como razón

 Sirve a la pregunta ¿en qué relación están? ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de comparar:

- Dos conjuntos distintos, por ejemplo, la razón o relación entre número de libros en la clase y
número de alumnos. Así, 13 libros para 26 alumnos podrá expresarse como 13/26
leyéndose “13 a 26” ó lo que es lo mismo, “1 por cada 2”.

- Un conjunto y un subconjunto del mismo, por ejemplo, la relación entre los 21 alumnos en total y los alumnos varones (11) de una clase puede expresarse como 11/21 o “11 a 21”. Un caso especial lo constituye la probabilidad definida como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles de un evento determinado. Por ejemplo, en la tirada de un dado la probabilidad o razón de probabilidad de que salga un 2 “es uno a 6” lo cual se indica como 1/6.

- Dos medidas según una unidad de medida común, por ejemplo, podremos afirmar que Juan
tiene una altura equivalente a 2/3 de la de Pedro (en cm) o que la escala (razón entre la distancia entre dos puntos determinados en el mapa y su distancia real) es 1 sobre 1 000 000, lo que puede significar que un milímetro en el mapa corresponde a un kilómetro en la realidad. Ejemplos de presentación de escalas: 1cm representa 100km y una pulgada representa 100millas:

3.4- La fracción como división indicada

 Para el caso en que la división sea inexacta, por ejemplo 3:7 no da un cociente entero (0.428571…) luego puede ser conveniente dejar expresada esta división como 3/7, lo cual es un resultado exacto. Es en este contexto en que “tres séptimos” se lee “ 3 dividido 7”.

3.5- La fracción como un punto de la recta numérica

 Ubicadas en posiciones intermedias entre dos números enteros.

 

3.6- La fracción como operador

 En este caso la fracción actúa sobre otro número, en lugar de como una entidad con sentido autónomo. Esto se explicita cuando se piden, por ejemplo, los 4/5 de 20 (o el 80% de 20) ó los 3/4 de 56 (75% de 56).

Son los contextos los que caracterizan con qué sentido se usan las fracciones. Si embargo, vale decir que no siempre está claramente definido para los alumnos el aspecto en cuestión y un mismo problema puede ser resuelto desde distintos usos de la fracción.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

 Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.
Recuerda:
Una fracción que tiene sus términos iguales representa la unidad 7/7 = 1
Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, primero reducimos las fracciones a común denominador y después sumamos o restamos.


 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

 Para multiplicar un número por una fracción, multiplicamos el numerador de la fracción por dicho número y dejamos el mismo denominador.
Para multiplicar fracciones, multiplicamos sus numeradores y sus denominadores.
Al multiplicar un número por una fracción estamos calculando la fracción de esa cantidad.
3/8 de 320 -> 3/8 x 320 = 960/8 = 120


DIVISIÓN DE FRACCIONES

 Para dividir dos fracciones, multiplicamos en cruz sus términos.
Para dividir una fracción entre un número, multiplicamos el denominador por dicho número.




ACTIVIDADES

 

1.Calcula qué fracción de la unidad representa:

La mitad de la mitad.

La mitad de la tercera parte.

La tercera parte de la mitad.

La mitad de la cuarta parte.

2. Para preparar un pastel, se necesita:

1/3 de un paquete de 750 g de azúcar.

3/4 de un paquete de harina de kilo.

3/5 de una barra de mantequilla de 200 g

Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel.

3. Un depósito contiene 150 l de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan?

        

4. De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo restante?

         

5. Una familia ha consumido en un día de verano:

Dos botellas de litro y medio de agua.

4 botes de 1/3 de litro de zumo.

5 limonadas de 1/4 de litro.